Introducción
Tales observaba el cielo para descubrir secretos sobre el curso de los astros. La sirvienta que lo acompañaba vio un hoyo en el campo y lo evitó. Tales, absorto en la contemplación de la bóveda celeste, cayó dentro. En tanto que la mujer le ayudaba a salir le dijo: “No ves lo que está a tus pies y quieres conocer lo que ocurre ene cielo .”
En la época de Tales, el siglo VI antes de nuestra era, la filosofía y las matemáticas estaban totalmente unidas. De hecho, esas palabras no existían. Fueron inventadas más tarde y, bastante después, se separaron.
Tales fue el primer << pensador >> de la historia. Lo cual no quiere decir que nadie hubiera pensado antes que él. Se piensa desde hace muchísimo tiempo. Antes que él hubo muchos magos, escribas, sacerdotes, contables, narradores, unos recitaban oraciones, otros efectuaban cálculos y otros narraban mitos. No obstante, Tales hizo algo más: se planteó preguntas. Por ejemplo: ¿Qué es pensar?, o ¿Qué relación existe entre lo que pienso y lo que es?, y también: ¿hay cosas que escapan a mi pensamiento? ¿De qué está hecha la naturaleza? Lo que hoy nos extraña es que nadie se hubiera planteado antes preguntas como ésas.
Ideas básicas sobre Tales
Costas de Anatolia, siglo VII a.C . Mientras en Sardes, la capital del imperio de Lidia, reina el hijo del rey Gugu, en Mileto, en la cercana Jonia, nadie reina. La población es una de las primeras ciudades-estado. Es una ciudad libre. Tales nace alrededor del 620 a.C. Se le debe la célebre frase: “Conócete a ti mismo”. Fue uno de los Siete Sabios de la antigua Grecia y el primero enunciar resultados generales referidos a los objetos matemáticos.
Tales no se ocupó mucho de los números; centró su interés en las figuras geométricas, círculos, rectas, triángulos. Fue el primero en considerar el ángulo como un ente matemático de pleno derecho, constituyendo la cuarta dimensión de la geometría, añadido a la tríada ya existente: longitud, superficie y volumen.Tales afirmó que los ángulos opuestos por el vértice formados por rectas que se cortan, son iguales:

Relación entre círculos y triángulos. Demostró que a cada triángulo puede corresponder un círculo: el círculo circunscrito, aquel cuya circunferencia pasa por los tres vértices, del que propuso una construcción general. Eso quiere decir que tres puntos no alineados definen no sólo un triángulo, lo que es evidente, sino un círculo, que no lo es tanto:

Tales demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos: a lados iguales, ángulos iguales.

Nota: Iso=igual, skelos=piernas. Un triángulo isósceles es un triángulo con dos piernas iguales. Consecuencia de ello, cualquier triángulo con los tres lados desiguales es llamado escaleno, es decir, cojo.
Tales no hace la más mínimas alusión a un resultado numérico establecido desde un sólo objeto, como habían hecho antes los egipcios o los babilonios. Ambiciona llegar a verdades generales acerca de una clase completa de objetos del mundo, infinita, a ser posible. Ello constituye una ambición de absoluta novedad. Para llegar a obtener verdades generales, Tales se verá obligado a concebir, sólo con su pensamiento, un ser ideal, “EL CÍRCULO”, es cual es, de algún modo, ¡EL REPRESENTANTE DE TODOS LOS CIRCULOS DEL MUNDO! Y como esta interesado en todos los círculos existentes y no en un grupo determinado, quiere afiebrar verdades que pertenezcan a su naturaleza de círculo. Por ello le podemos otorgar el título de “primer matemático de la historia”. Era una manera extremadamente nueva de ver las cosas. Es difícil imaginar la novedad que representó una frase como: “Toda recta que pasa por el centro de un círculo lo corta en dos partes iguales.”
La pirámide de Keops
Tales, apoyado en la borda de la embarcación, veía alejarse la tierra donde había vivido toda su vida. Mileto desapareció en la lejanía. Emprendía viaje hacia Egipto. El navío, impulsado por los vientos etesios, que no soplan más que en verano, en plena canícula, efectuó la travesía sin escalas. Avistó las costas egipcias, puso proa al lago Mariotis y, allí, Tales embarcó en una faluca con la que remontaría el curso del Nilo.
Al cabo de algunos días de viaje, sólo interrumpido por paradas en las ciudades y pueblos que bordean el Nilo, Tales la vio:! La pirámide de Keops! Se alzaba en medio de una amplia elevación del terreno, no muy lejos de la orilla del río. El griego nunca había visto algo tan importante. Las otras dos pirámides, la de Kefrén y la de Micerinos, estaban cerca, y parecían pequeñas en comparación. Aunque ya se lo habían advertido los otros viajeros durante el trayecto por el Nilo, las dimensiones del monumento sobrepasaban todo lo que Tales podía imaginar. Bajó de la faluca. Anduvo hacia ella aminorando su velocidad a medida que se acercaba, como si la proximidad de la masa del monumento tuviera la propiedad de acortar pasos. Se sentó, agotado. Un campesino egipcio, un fellah de edad indefinida, se puso en cuclillas a su lado.
-Extranjero, ¿sabes cuántos muertos ha costado esta pirámide que tanto admiras? -Miles, sin duda- respondió Tales. -Di mejor decenas de miles.
-¡Decenas de miles! -Centenares de miles es más aproximado. -¡Centenares de miles!- Tales le miró con incredulidad.
-Posiblemente nos quedamos cortos – añadió el fellah-, y ¿ para que tantos muertos?¿Para abrir el canal?¿Contener el río?¿Tender un puente?¿Construir una carretera?¿Edificar un palacio?¿Construir un templo en honor de los dioses?¿Excavar una mina? Rotundamente no. Esta pirámide la mandó hacer el faraón Keops con el único fin de obligar a los humanos a convencerse de su pequeñez. La construcción tenía que sobrepasar todos los límites para aplastarnos: cuanto más gigantesca fuera ella, más minúsculos seríamos nosotros. Consiguió su propósito. Me he fijado en ti cuando te acercabas, y he visto dibujarse en tu cara los efectos de esta magnitud. El faraón y sus arquitectos quisieron obligarnos a admitir que, entre la pirámide y nosotros, no hay ninguna medida común.
Tales ya había oído especulaciones parecidas sobre los designios del faraón Keops, pero nunca enunciadas con tanta falta de pudor y tanta precisión a la vez: “¡No hay ninguna medida común! “El monumento deliberadamente desmesurado le desafiaba. Construido hacía ya dos mil años por los hombres, estaba fuera del alcance de su conocimiento. Cualesquiera que fueran los fines del faraón una cosa saltaba a la vista: la altura de la pirámide era imposible de calcular. ¡La construcción más visible de todo el mundo habitado era también la única imposible de medir! Tales decidió aceptar el reto.
El fellah habló toda la noche. Nadie ha sabido jamás lo que dijo.
Cuando el sol apuntaba por el horizonte, Tales se levantó y observó su propia sombra proyectarse en dirección oeste; pensó que, cualquiera que sea el tamaño del objeto, siempre existirá una iluminación que lo haga parecer grande. Durante un buen rato permaneció de pie, inmóvil, con los ojos fijos en la sombra que proyectaba su cuerpo en el suelo. La vio disminuir a medida que el sol se iba elevando en el cielo.
Se prometió a sí mismo: “Ya que mi mano no puede medir la pirámide, que lo hago el pensamiento”. Tales miró la pirámide con insistencia durante mucho rato; debía encontrar un aliado que fuese de la talla de su adversario. Varias veces su mirada se desplazó de su cuerpo a su sombra y viceversa, y luego a la pirámide. Por fin levantó los ojos, mientras el sol lanzaba sus rayos terribles. ¡Tales acaba de encontrar su aliado!
El sol no hace distinciones entre las cosas del mundo, y las trata a todas del mismo modo, aunque su nombre sea Helios en Grecia o Ra en Egipto. A ese modo de tratar a todos por igual, si atañe a los hombres, en Grecia se llamaría más tarde democracia.
Si el sol trata de modo semejante al hombre, minúsculo, y a la pirámide, gigantesca, se establece la posibilidad de la medida común.
Tales se aferró a esa idea: “La relación que yo establezco con mi sombra es la misma que la pirámide establece con la suya”. De ahí dedujo: “En el mismo
instante que mi sombra sea igual que mi estatura, la sombra de la pirámide será igual a su altura”. He aquí la solución que buscaba. No faltaba sino ponerla en práctica.
Tales no podía efectuar la operación sólo. Necesitaban ser dos y el fellah accedió a ayudarlo. Es posible que sucediera de este modo. ¿Cómo llegar a saberlo?
Al día siguiente, al alba, el fellah fue hacia el monumento y se sentó bajo su sombra inmensa. Tales dibujó en la arena un círculo con un radio igual a su estatura, se situó en el centro y se puso de pie bien derecho. Luego fijó los bordes en el extremo de su sombra.
Cuando la sombra tocó la circunferencia, es decir, cuando la longitud de la sombra fue igual a su estatura, dio un grito convenido. El fellah, atento, plantó un palo inmediatamente en el lugar donde estaba el extremo de la sombra de la pirámide. Tales corrió hacia el palo.
Sin intercambiar una sola palabra, con la ayuda de una sola cuerda bien tensa, midieron la distancia que separaba el palo de la base de la pirámide y supieron la altura de la pirámide.
Bajo sus pies, la arena se levantaba; el viento del sur estaba empezando a soplar. El jonio y el egipcio se dirigieron hacia la orilla del Nilo, donde acababa de atracar una faluca. El fellah permaneció sonriente en la orilla mientras la embarcación se alejaba del río.
Tales estaba orgulloso. Con ayuda del fellah había ideado un truco.¿ la vertical me resulta inaccesible? Mido la horizontal. ¿No puedo medir la altura porque se pierde en el cielo? Mediré su sombra estampada en el suelo. Con lo pequeño mediré lo grande. Con lo accesible podremos medir lo inaccesible. Con lo cercano, podremos medir lo lejano.
La clave del problema
Si se hubiera tratado de un árbol o… del Obelisco de la plaza de la Concorde, que estaba en Egipto antes de que lo trajeran a Francia, si se hubiese tratado de un cilindro o un prisma, la misión de Tales hubiera sido simple, bastaba con la medida que había tomado. Pero la pirámide se ensancha desde su vértice hasta la base sobre la que reposa. La pirámide de Keops tiene una base cuadrada y su eje pasa exactamente por el centro de la base. La altura de la pirámide es la longitud del eje y la longitud de la sombra del eje es también la longitud del eje. ¡Simple!

Tales sólo puedo medir con precisión la parte de la sombra que sobresalía de la base. La otra parte, la que está en el interior del monumento, le era inaccesible. Pero sólo podía medir la medida exacta cuando los rayos del sol fuesen exactamente perpendiculares al lado de la base, lo que implica que la parte oculta era igual a la mitad del lado. Así, la altura de la pirámide era igual a la longitud de la sombra más la mitad de un lado. Hagamos una autopsia:

La altura de la pirámide es la longitud del eje, que es lo que busca Tales:

Si la pirámide hubiera sido transparente, la sombra del eje cuya longitud quería determinar Tales es esta que se ve aquí:

La parte de la sombra que está en el interior de la base, por tanto en el interior de la pirámide, la he dibujado en trazos discontinuos; es inaccesible, Tales no puede medirla; la parte que va desde el lado de la base hasta el extremo de la sombra está negro continuo, Tales puede medirla. De hecho, en toda esta historia, es la única cosa que puede medir.
El verdadero problema que se plantea entonces, es que cuando la dirección de los rayos del sol formaba un ángulo cualquiera con el lado de la base, lo que sucedía prácticamente siempre, la sombra formaba un triángulo cualquiera y… Tales no podía hacer nada.

No hay que olvidar que las matemáticas son una trampa. Tales buscó una situación particular que le permitiera solucionarlo. La encontró trasladando su problema a un momento particular de día, aquel en que los rayos son perpendiculares al lado de la base. Ésta es la situación de la que os he hablado antes. Lo que Tales no podía obtener por medición directa iba a deducirlo con el razonamiento. ¿Con qué armas contaba? De la pirámide sólo conocía el lado de la base. Y lo usaría.

- A: Dónde esta el eje
- H: Punto en que la sombra no se ve
- M: Extremo de la sombra
Pero, ¿Cómo podía saber Tales que la sombra era perpendicular al lado?
Tales no tenía escuadra ni cartabón, pero tenía algo mejor: la orientación de la pirámide. Los arquitectos construyeron el monumento de tal manera que una de sus caras estuviese orientada al sur.
Así que la sombra será perpendicular al lado en el momento en que el sol esté en su cenit. Exactamente a mediodía. Pera la pirámide no tiene, cada mediodía, una sombra visible perpendicular al lado. En eso reside toda la dificultad. Para ello es necesario que el sol no esté demasiado alto en el cielo en su trayectoria diurna.
Resumen: Dos condiciones necesarias: la sombra debe ser igual a la pirámide y perpendicular a la base. Para contestar a todo de lo que de ahí se deriva, es preciso salir de la pura geometría y entrar en la astronomía, geodesia y geografía. Volvamos al terreno real.
La pirámide de Keops está en Gizeh, a 30 grados de latitud en el hemisferio norte, como nosotros, por encima del trópico, pero bastante más abajo. Para que la sombra sea igual que el objeto que la produce, los rayos tienen que tener una inclinación de 45 grados. En Gizeh, en verano al mediodía, los rayos del sol [...]
El teorema de Tales
“Un sistema de paralelas, AA ́, BB ́,
CC ́, cortadas por dos secantes D y D ́,
determinan segmentos proporcionales, es decir, que el cociente entre las longitudes de los segmentos AB y AC es igual al cociente entre las longitudes de A ́B ́ y A ́C ́.”
Antes hablamos de la revelación que tuvo Tales de que el sol trataba a todos los objetos por igual. Estaba inmerso en plena similitud. ¡Y por detrás de la similitud está la FORMA! ¡Todas las figuras semejantes tienen la misma forma! Conservar las proporciones es conservar la forma. Con mayor corrección podríamos decir : la forma es lo que se conserva cuando cambiamos las dimensiones guardando las proporciones.




